Современная механика жидкостей

К 300-летию со дня рождения Эйлера

 

Изображения вихрей, волн, струй, которые дошли из глубины веков в рисунках, найденных в различных уголках Земли – в Японии, Китае, Индии, Европе – свидетельствуют о давности интереса к свойствам и течениям жидкостей. В учении друидов вода – первоначало всех вещей, существовавшее до сотворения мира. Обширный пантеон богов и титанов (Посейдон-Нептун, Асоп, Нерей и нереиды, …) указывает на особую роль гидросферы в античной культуре. Вода входит в ритуальные действия многих современных религий (крещение и окропление в христианстве, омовения в исламе и индуизме). Успешная борьба Геркулеса с бессмертной Гидрой отражает проблемы и успехи античной гидравлики. Остатки древних водоводов и гидротехнических систем, работавших на протяжении столетий в Китае, Йемене, Месопотамии, Европе, античных кораблей – индикаторы наивысших практических достижений без достаточного научного основания.

Научная гидравлика и гидродинамика стали развиваться именно в Европе в результате взаимовлияния религиозных представлений (“Математика – учение о предсказании будущего по наблюдениям природных явлений”) и практических потребностей, главным образом гидротехнических и военных. Наблюдения и тщательно продуманные эксперименты Леонардо да Винчи, Г. Галилея в Италии, С. Стевина в Голландии, Б. Паскаля и Р. Декарта во Франции, их учеников и последователей, позволили установить основные параметры жидкой среды и ее течений (плотность, давление, скорость, ускорение), сформировать фундаментальные “принципы”, получившие названия “законов” в отечественной литературе.

Основу всей научной механики составляют принцип относительности Галилея, законы сохранения импульса Р. Декарта и “живой силы” (кинетической энергии) Г.В. Лейбница. И. Ньютон ввел понятие силы, как меры взаимодействия тел, сформулировал общие законы механики, дал определение жидкости, как среды, сила сопротивления которой движению тел зависит от скорости. Он уделил внимание колебаниям жидкостей, анализу законов сопротивления, которые, как и Галилей, проверял, наблюдая свободное падение шаров в бассейне с водой и в воздухе в соборе св. Павла в Лондоне.

Ж.-Р. Даламбер первым применил дифференциальные уравнения в частных производных в гидродинамике, вывел двумерное уравнение неразрывности в его современной форме для баротропных жидкостей (плотность которых  зависит только от давления) и трехмерное для несжимаемых сред

  

или ,  const,                                                            (1)

 

где – скорость звука, – скорость жидкости,  – координаты.

Его вид оказался общим для всех законов сохранения в дифференциальной форме, связывающих изменение величины  в точке  с ее потоком  через охватывающую поверхность:

.

Следующий принципиальный шаг был сделан Д. Бернулли, который, следуя идеям В. Лейбница о сохранении “живой силы”, нашел связь между скоростью установившегося потока и давлением. Свои достижения Бернулли изложил в замечательной книге, написанной по заданию Российской (Петербургской) академии наук и опубликованной 1738 г. в Страсбурге.

Полную систему уравнений движения идеальной жидкости в поле силы тяжести с ускорением свободного падения  впервые вывел Л. Эйлер [1] в процессе непрерывной многолетней работы над проблемами судостроения, навигации и артиллерии (и одновременно изучая массу других задач)

  или       (§ 34)

Свою замечательную статью, содержащую вывод уравнений и граничных условий непротекания, Л. Эйлер [1] закончил оптимистично: “Тем не менее, все, что содержит теория жидкостей, заключено в двух приведенных выше уравнениях (§ 34), так что нам не хватает для продолжения этих исследований не законов Механики, а только Анализа, который пока еще недостаточно развит для этой цели”.

Эйлер довольно быстро установил, что полученное уравнение не позволяет вычислять силы, действующие на тело в потенциальном течении (парадокс Даламбера), и сам выведенные уравнения не решал. Однако постепенно техника анализа развивалась и спустя сто лет, ряд ученых, прежде чем Г. Киркгоф, Г. Гельмгольц и, особенно, Н.Е. Жуковский и С.А. Чаплыгин, получили важные теоремы и разработали методику применения уравнений Эйлера для решения практических задач. Важное место в ней принадлежит физическому эксперименту в бассейне, гидравлической или аэродинамической трубе. В опытах определяется схема течения, структура поля вихрей, на основе которой и делаются дальнейшие расчеты сил и моментов. Такой подход способствовал широкому развитию принципов моделирования течений в природных условиях и технических устройствах.

Следующая серия принципиальных шагов была сделана во Франции, где была создана система селекции одаренных личностей из всех слоев общества и их подготовки для выполнения научной работы. В стране одновременно трудился ряд выдающихся ученых – Дж. Лагранж, П.-С. Лаплас, О. Коши, С. Пуассон, А.Л. Лавуазье, Г.Монж… Ученик Лагранжа Дж. Фурье в 1807 г. вывел уравнение теплопроводности, связывающее изменение температуры с потоком,

                                                           (2)

 – оператор Лапласа,  – коэффициент температуропроводности.

Ученик Лапласа О. Коши ввел понятие тензора вязких напряжений (компонент сил, действующих на единичную площадку) и постулировал их пропорциональность тензору деформаций в упругой среде (обобщенный закон Гука) или тензору скоростей деформации в абсолютно неупругой среде

,                                                          

Используя молекулярные (для вывода уравнений) и континуальные (для вывода граничных условий) представления, K.-Л. Навье в 1822 году построил уравнения течения вязких жидкостей ( - коэффициент динамической вязкости)

                                                      (3)

которые, в сочетании с уравнениями неразрывности пытался применить к объяснению результатов экспериментов Жирарда по течению жидкости в круглых трубках (течению Гагена-Пуазейля). Для согласования результатов небрежно поставленных опытов с расчетами Навье был вынужден отказаться от правильного граничного условия прилипания и предположить проскальзывание жидкости. Сам Навье в лекциях отмечал, поскольку реальные течения имеют более сложный характер, чем предполагалось в расчетах, теория не может удовлетворять практические потребности и единственным надежным ориентиром служат только результаты опытов.

Да и современники прохладно отнеслись к этому выдающемуся достижению. В частности, в своем обзоре А. Карно пришел к заключению, что “г-н Навье смог представить свои базовые принципы в форме гипотезы, которая должна быть проверена экспериментально. Однако, если обычные уравнения гидродинамики уже столь затруднительны для анализа, что мы может ожидать от новых, еще более сложных уравнений” [2], что не способствовало развитию аналитической теории течений жидкости.

Уравнения Навье затем были последовательно перевыведены С. Пуассоном, О.Коши, Б.Сен-Венаном, прежде чем Дж.Стокс смог не только получить их еще раз, исходя из континуальных представлений, но и построить решения ряда практически важных задач, включая течение Гагена-Пуазейля в капилляре. Г.Лэмб и Г.Гельгольц окончательно подтвердили обоснованность и конструктивность системы уравнений Даламбера – Навье-Стокса. Однако вопрос об их разрешимости в приближении однородной жидкости все еще остается открытым. В практических же целях стали использоваться специальные физические модели, как конститутивные, так и выведенные для данного типа течений или волн из фундаментальных уравнений (1, 3).

Анализ наблюдений изящной картины возвышений воды впереди и позади рыболовной лески, опущенной с борта дрейфующий яхты, позволил Дж. Томсону и Г. Гельмгольцу создать теорию диспергирующих волн – коротких капиллярных и более длинных гравитационных. Быстрые капиллярные волны создают на поверхности воды возмущение перед препятствием, более медленные гравитационные – систему отстающих корабельных волн, изучение которых активно продолжается и сегодня.

В конце XIX В начале века О. Рейнольдс выделил два типа течений в трубах с различными законами сопротивления – ламинарные и турбулентные. Э. Мах зарегистрировал ударные волны. В начале XX века Л. Прандтль развил теорию пограничного слоя, положившую начало огромному числу работ по расчету и экспериментальному изучению обтекания различных препятствий, но главным образом крыльев и винтов. Развитие высокоскоростной авиации стимулировало развитие исследований трансзвуковых и гиперзвуковых течений. Для решения практически важных задач динамики атмосферы и океана были разработаны различные модификации теории турбулентности.

Однако плотности жидкостей и газов в атмосфере и гидросфере не являются постоянными вследствие неоднородности температуры, давления и концентрации растворенных веществ или взвешенных частиц. Уравнение диффузии, полученное немецким ученым А. Фиком в 1855 г., подобное по структуре уравнению теплопроводности Фурье (3),

                                               (4)

позволяет рассчитывать перенос вещества ( – соленость,  – коэффициент диффузии).

Одновременно активно изучалось уравнение состояния, связывающих плотность жидкости или газа  с другими термодинамическими переменными – температурой , соленостью  и давлением  для жидкостей и газов

                                                                        (5)

Полная система уравнений (1-5), выведенная в XIX веке, приводится во многих учебниках [3], однако фактически она не анализировалась до начала XXI столетия, поскольку считалось, что влиянием малых изменений плотности и медленной диффузией на динамику течений можно пренебречь. Качественно можно отметить, что наличие малых (кинетических) коэффициентов при старших производных позволяет отнести ее к классу сингулярно-возмущенных уравнений, решения которых включают и регулярные и сингулярные по малым параметрам функции.

Однако постепенно стало ясно, что стратификация, даже очень слабая, существенно влияет на картину течений и обеспечивает условия существования новых явлений, отсутствующих в однородной жидкости. К их числу принадлежат скрытые внутренние волны, амплитуда которых достигает максимальных значений в толще жидкости, и процессы формирования тонкой структуры среды – последовательности высокоградиентных прослоек, разделяющих более толстые квазиоднородные слои. Длительность существования прослоек существенно превышает характерные диффузионные времена.

Отдельные работы по изучению стратифицированных течений появлялись в научной литературе с большими перерывами (Б.Франклин в 1762 наблюдал и моделировал внутренние волны; У.Джевонс в 1857 – пальцевую конвекцию; У.Бревер, К.Барус, К.Менденхолл и М.Мазон – слоистую конвекцию). В ходе знаменитой полярной экспедиции 1893-1896 г. Ф. Нансен зарисовал и выразительно описал картину возмущений на поверхности воды при попадании судна в “мертвую воду” в норвежских фиордах и у берегов Таймыра, когда скорость “Фрама” падала с 6 до 1.5 узлов. Он инициировал постановку цикла экспериментальных исследований присоединенных внутренних волн, уносящих энергию движения судна, которые выполнил В. Экман в начале прошлого века. Моделирование “мертвой воды” положило начало лабораторным исследованиям внутренних волн, которые спустя шестьдесят лет стали проводиться систематически с целью решения задач навигации, динамической и акустической скрытности подводных лодок, обеспечения безопасности полетов самолетов и планеров (“турбулентность ясного неба”).

Геометрическая четкость спутниковых изображений течений в атмосфере и гидросфере, развитие методов математического моделирования и недостаточная точность прогноза погоды и эволюции климата, который традиционно ведется на основе феноменологических уравнений, стимулировали рост интереса к изучению свойств полной системы (1-5).Учет естественной стратификации (и глобального вращения среды) показывает, что в таких системах отсутствует тривиальное состояние полного покоя даже в отсутствие действия внешних возмущающих факторов. Достаточно сложные течения, включающие нестационарные внутренние волны, пограничные слои различной толщины в полях плотности и скорости, крупные вихри возникают даже вследствие неоднородности молекулярного потока стратифицирующей компоненты в окрестности непроницаемых контактных поверхностей.

В качестве примера на Рис. 1. приводятся результаты численного моделирования течений, индуцированных прерыванием диффузии на неподвижной сфере, и теневая визуализация течения на цилиндрической трубке, погруженной в непрерывно стратифицированный раствор поваренной соли. Течение включает крупные вихри в плоскости экватора, пограничные слои и протяженные внутренние волны, формирующие горизонтальные ячейки у полюсов. Тонкие полосы, примыкающие к полюсам цилиндра на Рис. 1 – диссипативно-гравитационные волны, индуцированные возникающим течением, системы слоев внутри трубки визуализируют области ослабления градиента. Различия в масштабах изменчивости поля скоростей () и плотности или солености (, – частота плавучести) проявляются в структурах всех других типов течений.

 

а)

б)

Рис.1. Картина течения, индуцированного диффузией на сфере (слева –возмущения солености, справа – линий тока) –а) и цилиндре – б).

 

Структура течения становится еще более сложной, когда тело приводится в движение, например колебательное. Классификация периодических течений в стратифицированной среде включает наряду с известными регулярными компонентами обширное семейство сингулярных по вязкости компонент. Регулярным компонентам (мнимая часть решений пропорциональна кинетическим коэффициентам ) соответствуют различные типы волн – акустические, поверхностные и внутренние гравитационные, инерционные, гибридные) в зависимости от значения отношения частоты осцилляций  источника к характерным частотам плавучести  и вращения  среды .

Сингулярным компонентам решения (мнимая часть решений обратно пропорциональна диссипативным факторам , они не имеют аналогов в идеальной жидкости) соответствуют семейства пограничных слоев на контактных поверхностях и их аналоги в толще жидкости – тонкие протяженные элементы тонкой структуры. С вязкостью связаны два различных типа сингулярных компонент. Одному из них соответствует известное периодическое течение Стокса на осциллирующей плоскости, а у второго нет аналогов в однородной жидкости. С температуропроводностью и диффузией связаны дополнительные сингулярные компоненты. Полная классификация периодических течений в вязкой стратифицированной среде жидкости приведена в [4].

 

а)	б)	в)
		г)

Рис. 2. Рассчитанная и наблюдаемая теневая картина периодических внутренних волн в линейно стратифицированной жидкости

 

В качестве примера на Рис. 2 приведены рассчитанные и наблюдаемые теневые картины периодических внутренних волн, возбуждаемых горизонтальным диском, совершающим вертикальные колебания в линейно стратифицированной среде [5]. Регулярная часть решения характеризует волновой конус (верхняя часть Рис. 2, а и б), структура которого согласуется с наблюдаемой (нижняя часть Рис. 2, б). Сингулярным компонентам соответствуют пограничные слои на излучателе и оболочки конуса, отчетливо видимые в поле  (нижняя часть рисунка Рис. 2, а) и в теневой картине волн (Рис. 2, в) при большой амплитуде колебаний тела. При дальнейшем увеличении амплитуды в течении образуются вихри не только в окрестности тела, но и вдали от него, непосредственно в толще жидкости, в областях конвергенции сингулярных компонент (Рис. 2, г).

В волновом следе за цилиндром наблюдаются уединенные разрывы и висящие вихри, существование которых не допускается теоремами Лагранжа и Гельмгольца в модели идеальной жидкости (Рис. 3). Они являются инфинитезимальными аналогами ударных волн, на которых терпит разрыв нормальная компонента скорости (к одному берегу разрыва подходит гребень внутренней волны – темная линия на Рис. 3, а, а к другому в том же сечении – впадина, которой соответствует двойная серая линия) [6]. Жидкость втекает в него и распространяется в тонком слое. То есть на таком сингулярным элементе собираются и удерживаются примеси, как, например, краска, извлекаемая из диффузного облака (Рис. 3, б).

 

а)

б)

Рис. 3. Теневая визуализация – (а) и подкраска – (б) стратифицированного течения за цилиндром.

 

Такие свойства сингулярных решений позволяю понять природу непредсказуемого поведения нефтяного пятна, распространяющегося тонкой нитью от гибнущего танкера у побережья Испании.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4. Катастрофа танкера  “Престиж”, разлив нефти 17 ноября 2002 г. (SAR image)

Исследования сингулярных компонент позволяют понять природу формирования вихрей – элементов течений с почти замкнутыми линиями тока – в следе за пластиной. Непосредственно взаимодействующие сингулярные компоненты вначале образуют регулярную поперечную полосчатую структуру, затем группируются в последовательность кластеров, высокоградиентные компоненты внутри которых образуют оболочки вихрей. Стратификация подавляет вертикальный перенос, сплющивает и разбивает вихревые слои на трехмерные структуры [7]. Следует подчеркнуть, что вся сложная картина течений тождественно воспроизводится при сохранении условий опытов. Исходные градиенты достаточно слабые, изменения плотности происходят в третьем или четвертом знаке после запятой (в океане и атмосфере – в шестом и менеше).

 

Рис. 5. Формирование и распад вихрей в стратифицированном течении за пластиной

 

Таким образом, современная механика жидкостей, которая  базируется на фундаментальных уравнениях и анализе свойств полной совокупности решений, как регулярных, так и сингулярных, является разрешимой и самосогласованной. Характер взаимодействия одновременно сосуществующих разномасштабных элементов, определяющий эволюцию природных систем, зависит и от геометрии области существования течения, и от энергетики процессов. Приближение однородной жидкости приводит к слиянию разнородных сингулярных компонент. Система определяющих уравнений при этом становится неполной и недоопределенной (теряется часть уравнения неразрывности и уравнение состояния).

Разработка методик и проведение количественных измерений в лабораторных и в природных условиях свойств всех компонент течений, как широко известных регулярных, так и сингулярных, поможет определить критерии формирования катастрофических состояний и объективно прогнозировать сценарии эволюции природных систем – литосферы, гидросферы, атмосферы.

 

Литература

1. Euler L. Principes généraux du mouvement des fluids // Mémoires de l’Academié royalle des sciences et belles letters. Berlin. 1757. V. 11 (papers of 1755 year). P. 274-315. = Opera omnia. Ser.II. V.12. P. 54-91. = Эйлер Л. Общие законы движения жидкостей // Известия АН. Механика жидкостей и газа. 1999. № 6. С. 26-54. (+ работы 1750, 1751, 1752)

2. Cournot Antoine. Review of Navier’s mémoire on fluid motion // Bulletin des sciences mathématiques. 1828. V. 10. P 11-14.

3. Ландау Л. Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

4. Чашечкин Ю.Д., Кистович А.В. Классификация трехмерных периодических течений в жидкости // Доклады АН. 2004. Т. 395. № 1. С. 55-58.

5. Чашечкин Ю. Д.,. Васильев А. Ю, Бардаков Р.Н. Тонкая структура пучков трехмерных периодических внутренних волн // Доклады АН 2004. Т. 397. № 3. С. 404–407.

6. Миткин В.В., Чашечкин Ю.Д. Трансформация висящих разрывов в вихревые системы в стратифицированном течении за цилиндром // Известия Академии наук. Механика жидкости и газа. 2007. № 1. С. 15-28.

7. Чашечкин Ю.Д., Миткин В.В., Бардаков Р.Н. Полосчатые структуры в стратифицированном течении около горизонтальной пластины // Доклады АН, 2006, Т. 409. № 6. С. 774-778.

 

профессор Ю.Д. Чашечкин, Лаборатория механики жидкостей Института проблем механики Российской академии наук –  филиал кафедры физики моря и вод суши физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, e-mail: chakin@ipmnet.ru